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Bernoulli-Kette, Bernoulli-Experiment

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Bernoulli-Kette.jpg
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ereignissen. Diese nennt man Erfolg und Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bezeichnet man als Erfolgswahrscheinlichkeit p, die des Misserfolges als Misserfolgswahrscheinlichkeit q. Es gilt q = 1 - p.

Eine Bernoulli-Kette ist eine Reihe von n Bernoulli-Experimenten, bei der sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe für p und q nicht verändern. Man spricht dann von einem n-stufigen Bernoulli-Experiment oder von einer n-stufigen Bernoulli-Kette.

Im Buch Seite 18 - 25 (Seiten 26 - 28 noch Zusatz)

PfadregelnBearbeiten

1. Wenn man in einer Bernoulli-Kette den Pfaden entlang nach rechts geht, d.h. den Strichen entlang, dan werden diese multipliziert.

Beispiel: Du willst die Wahrscheinlichkeit für P(E|E|M). p = 0,6 und q = 0,4. Also rechnet man jetzt p*p*q = 0,6*0,6*0,4 = 0,144. Also ist P(E|E|M) = 14,4%

2. Wenn man in einer Bernoulli-Kette verschiedene Pfade zusammenrechnen will werden diese addiert.

Beispiel: Du willst die Wahrscheinlichkeit von P(E|M) und P(M|M) und P(E|E). p=0,6 und q=0,4. P(E|M)=0,24, P(M|M)=0,16 und P(E|E)=0,36. 0,24 + 0,16 + 0,36 = 0,76 = 76%. Man schreibt dann P(E|M)+P(M|M)+P(E|E) = 76%

Der Binomialkoeffizient Bearbeiten

Für natürliche Zahlen n und k mit k<n oder k=n setzt man die nebenstehenden Formeln.
Binomialkoeffizient.jpg
Die linke
Binomialkoeffizient1.jpg
Seite der Formel ließt man als "n über k" und heißt Binomialkoeffizient.

Mit GTR: ►MATH auf Untermenü►PRB dann ►nCr. Man gibt dann n nCr k ein.

Beispiel: Man würfelt 6 mal (n=6). Zwei mal soll es eine 6 geben (k=2). p ist bei einem Würfel 1/6 und q daher 5/6.

Rechnung: Jeder Pfad mit 2 Erfolgen (2x eine 6) hat eine Wahrscheinlichkeit von p*p*q*q*q*q = (1/6)*(1/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6) = 625/46656 = ca. 0,0134 = 1,34%.

Aber Wie oft kommt das vor? Natürlich "n über k" mal

Nun nimmt man die Formel des Binomialkoeffizienten (n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1))) / (k*(k-1)*(k-2)*...*1) = 6*5 / 2*1 = 30/2 = 15. Es gibt also 15 Pfade.

und 15 * 1,34% = 20,1%


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